https://en.wikipedia.org/wiki/Group_theory
https://en.wikipedia.org/wiki/Computational_group_theory
Badaniem własności grup zajmuje się teoria grup, która jest działem matematyki.
Niech G będzie zbiorem niepustym, a * działaniem w G.
Parę (G,*) nazywamy grupą, jeżeli spełnione są warunki:
(i) działanie * jest łączne, czyli
dla każdego a, b, c ∈ G mamy (a*b)*c = a*(b*c)
[można więc pisać a*b*c].
(ii) istnieje element neutralny (jednostkowy) e ∈ G taki, że
dla każdego a ∈ G mamy e*a = a*e = a.
(iii) dla każdego a ∈ G istnieje element odwrotny ~a taki, że
a*(~a) = (~a)*a = e.
Jeżeli działanie * jest przemienne (a*b = b*a), to grupę (G,*) nazywamy przemienną (abelową). Często działanie w grupie abelowej oznacza się znakiem plus, a samą grupę przez (G,+).
Twierdzenie. Niech (G,*) będzie grupą. Wtedy zachodzi:
(i) dla każdego a ∈ G mamy ~(~a) = a.
(ii) dla każdego a, b ∈ G mamy ~(a*b) = (~b)*(~a).
Rząd grupy G jest to liczba elementów w grupie. Oznaczenie |G|.
Rząd ord(a) elementu a ∈ G jest to najmniejsza liczba naturalna k
taka, że a^k = e.
Dla każdego a ∈ G zachodzi a^|G| = e, oraz ord(a) jest dzielnikiem |G|.
Jeżeli grupa G zawiera element g taki, że ord(g) = |G| = n, to taką grupę nazywamy 'grupą cykliczną' (oznaczenie C_n). Element g nazywa się 'generatorem' grupy cyklicznej.
Podgrupa (subgroup) H grupy G jest to para (H,*), gdzie H jest podzbiorem G, * to działanie w G, a (H,*) jest grupą. H jest podgrupą właściwą, jeżeli 1 < |H| < |G|.
Homomorfizm dwóch grup (group homomorphism) [f: G → G'; f(a*b) = f(a)*f(b) dla każdego a, b ∈ G]. Jądro homomorfizmu [Ker(f) = f^{-1}({e'})].
Izomorfizm = homomorfizm + bijekcja.
Twierdzenie Cayley'a: Każda grupa G rzędu n jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy symetrycznej S_n.
Niech G to grupa, a A i B zbiory zawarte w G. Określamy
AB := {ab : a ∈ A, b ∈ B},
~A := {~a : a ∈ A}.
Jeżeli b ∈ G, to
bA := {b}A,
Ab := A{b}.
Dla niepustego A mamy własności:
(i) AG = GA = G,
(ii) ~G = G,
(iii) eA = Ae = A.
Niech H podgrupa G. Można zdefiniować relację równoważności:
a~~b wtw, gdy a(~b) ∈ H.
Stąd dostaniemy klasy równoważności
[a] = [b: b~~a] = [b: b(~a) ∈ H] = [b: b ∈ Ha] = Ha
(warstwa prawostronna; zbiór).
Podobnie można zdefiniować inną relację równoważności
a~~b wtw, gdy (~a)b ∈ H.
Stąd dostaniemy klasy równoważności [a] = aH (warstwa lewostronna).
Można rozłożyć G na rozłączne warstwy o równej długości
G = H + aH + bH + ... + pH (dla grupy G skończonej).
The cosets of any subgroup H form a partition of G.
Twierdzenie Lagrange'a. Rząd podgrupy H jest podzielnikiem rzędu grupy G.
Podgrupa H grupy G jest podgrupą niezmienniczą
(dzielnikiem normalnym, normal subgroup),
jeżeli aH = Ha dla każdego a ∈ G
[równość w sensie zbiorów!].
Jeżeli H jest dzielnikiem normalnym, to dla każdego a ∈ G zachodzi
aH(~a) = H [tak można sprawdzać, że K jest dzielnikiem normalnym].
W zbiorze warstw można wprowadzić działanie [a]*[b] = [ab]. Wtedy para (G/H,*) to grupa ilorazowa (quotient group or factor group), a jej rząd to |G|/|H|.
Liczby struktur grupowych danego rzędu. Widać, że najczęściej mamy grupy C_n i D_n, iloczyny proste grup niższego rzędu, ale również pojawiają się nowe struktury grupowe. Ile jest grup prostych, to rozstrzyga twierdzenie.
+----+------+---------------------------------------------+ |Rząd|Liczba| Przykłady, [n]=nieabelowa | +----+------+---------------------------------------------+ | 1 | 1 |C_1 | | 2 | 1 |C_2 | | 3 | 1 |C_3=A_3 | | 4 | 2 |C_4, D_2=C_2xC_2 | | 5 | 1 |C_5 | | 6 | 2 |C_6=C_3xC_2, D_3[n] | | 7 | 1 |C_7 | | 8 | 5 |C_8, D_2xC_2, C_4xC_2, D_4[n], Kwaterniony[n]| | 9 | 2 |C_9, C_3xC_3 | | 10 | 2 |C_10=C_5xC_2, D_5[n] | | 11 | 1 |C_11 | | 12 | 5 |C_12, C_6xC_2, D_6[n], A_4[n], G_12[n] | +----+------+---------------------------------------------+ D_2xC_2 = C_2xC_2xC_2 C_12 = C_4xC_3 C_6xC_2 = C_3xC_2xC_2 D_6 = D_3xC_2 nieabelowa G_12 grupa nieabelowa opisana w książce Jamesa i Liebecka
Reprezentacją grupy G nazywamy homomorfizm D z grupy G w grupę macierzy kwadratowych [D(a*b) = D(a)*D(b) dla a, b z G]. Rozmiar reprezentacji D to rozmiar macierzy.